Formules, complexe getallen

In Formules, inleiding zijn getallen geïntroduceerd aan de hand van het "beroemde" concrete voorbeeld van aantallen appels en bananen, en het optellen ervan. Op de middelbare school leer je dat je wel appels bij appels mag optellen en bananen bij bananen, maar geen appels bij bananen. Dit als voorbeeld van wat je mag met de wiskundesymbolen \( a \) , \( b \) , enzovoort.

Daar zijdelings genoemd is een andere wiskundige handeling genaamd "vermenigvuldigen", in de vorm van het herhaaldelijk optellen - dus eigenlijk hetzelfde als optellen.

Zodra je wiskunde gaat toepassen, is die gelijkenis absoluut niet meer waar.

Het in deze serie gebruikte voorbeeld is dat van de wet van Hooke, over het rekken van een veer. De wet luidt:
\[ F ~ = ~ k \times \Delta l \]
Met \( F \) zijnde de kracht waarmee je aan de veer trekt, \( \Delta l \) de verandering in lengte en \( k \) een constante waarin de stugheid van de veer zit.

Indien natuurkundigen dit aan het meten zijn, zetten ze daar eenheden bij, voor die grootheden die ze meten:
\[ F ~ = ~ 25 ~ Newton ~ = ~ 25 N ~~~~~~ \Delta l ~ = ~ 3,1~ cm ~ = ~ 0,031 ~ m \]
Waarop onmiddellijk duidelijk is dat in de wet van Hooke er wel degelijk met appels en bananen tegelijk wordt gewerkt, en nog met citroenen ook, voor de \( k \). Maar let op: niet voor het optellen - wel voor het vermenigvuldigen.

Die speciale eigenschap van vermenigvuldigen ten opzichte van optellen komt als eerste ook in de wiskunde te voorschijn zodra je gaat werken met negatieve getallen. Bij het optellen kan je willekeurig heen en weer met positief en negatief - als je maar keurig alles tegelijk verandert:
\[ 2 ~ + ~ 3 ~ = ~ 5 \]
...en:
\[ -2 ~ - ~ 3 ~ = ~ -5 \]
Maar stop hierin een vermenigvuldiging:
\[ (2) \times (2) ~ + ~ 3 ~ = ~ 7 \]
...en:
\[ (-2) \times (-2) ~ - ~ 3 ~ = ~ 1 \]
... en dus niet -7 .

Het probleem in dat laatste is duidelijk: zodra je twee negatieve waardes gaat vermenigvuldigen, verdwijnt het min-teken en is de uitkomst positief. En het omgekeerde gebeurt niet: als je twee positieve waardes vermenigvuldigt, is de uitkomst niet negatief.

Oftewel: de combinatie van vermenigvuldigen en negatieve getallen leidt tot een eenzijdige operatie: de ene kant op werkt het anders dan de andere. Iets dan in zijn algemeenheid in de wiskunde een "projectie"-operatie wordt genoemd - als in: "De lichtstralen komen van een drie-dimensionaal voorwerp "projecteren een twee- dimensionaal beeld op het scherm - of het oog". Of de kaarten van de wereld, die twee-dimensionale projecties zijn van de drie-dimensionale wereldbol.

In de techniek worden voor tekeningen van voorwerpen dan ook altijd drie projecties gegeven: van voren, van boven, en voor de zekerheid ook nog eentje van opzij.

De eerste keer dat het de wiskundigen duidelijk werd dat er iets verdween, was bij het oplossen van functies voor cirkels, ellipsen en soortgelijke functies. Dat zijn namelijk kwadratische functies, waarvan de alleralgemeenste in Formules, functies gegeven is als:
\[ y ~ = ~ a ~+ ~ b x ~ + ~ c x^2 \]
Het kwadrateren van \( x \) is het vermenigvuldigen met zichzelf: \( x \times x \).

Een van de dingen die je doet bij het bepalen van het uiterlijk van een functie zoals weer te geven in een grafiek, is te bepalen waar hij door de \( x \)-as en \( y \)-as gaat. Dat eerste betekent dat \( y \) daar nul is. Dat wil zeggen: je moet bepalen voor welke \( x \) waar is dat:
\[ a ~+ ~ b x ~ + ~ c x^2 ~ = ~ 0 \]

Op de middelbare school leer je daar een paar standaardgevallen voor. Voor de vergelijking:
\[ 4 ~+ ~ 4 x ~ + ~ x^2 ~ = ~ 0 \]
..... leer je dat je dit kan opsplitsen in:
\[ (2 ~+ ~ x) ~ \times ~ (2 ~+ ~ x) ~ = ~ 0 \]
...waarna duidelijk dat als één van de twee termen nul is, dat ook geldt voor het geheel - in dit geval zijn die twee oplossingen hetzelfde, oftewel er is maar één snijpunt met de y-as oftewel de functie, hier een cirkel, raakt aan de \( x \)-as.

Alras werd er een algemene formule opgesteld voor de splitsing in factoren van de algemene kwadratische functie, en die algemene oplossing heet de "abc-formule". Hier is hij:
\[ x_{1,\,2} ~ = ~ { { -b \pm \sqrt {b^2 - 4ac } } \over {2c} } \]
... waarbij \( \pm \) niet betekent "ongeveer" maar "óf plus, óf min", overeenkomende met respectievelijk de eerste en tweede oplossing.

So far, so good, want vul maar in voor het gegeven specifieke geval: \( a \, = \, 4~, ~b \, = \, 4 ~,~c \, = \, 1\):
\[ x_{1,\,2} ~ = ~ { {-4 \pm \sqrt {4^2 - 4 \times 4 \times 1 } } \over {2 \times 1} } ~ = ~ -2 \]
En dat klopt: dan wordt \( y \) gelijk aan nul.

Goed, daarmee kun je alle gevallen oplossen, zou je denken. Maar niet heus. Want stel: \( a \, = \, 1~, ~b \, = \, 1 ~,~c \, = \, 2\). Dan geeft de abc-formule:
\[ x_{1,\,2} ~ = ~ { {-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times 2 } } \over {2 \times 1} } ~ = ~ { {-1 \pm \sqrt {-7 } } \over { 2} } \]
En op dat moment wist "iedereen" al dat je van een negatief getal geen wortel kan trekken. Je kan niet een negatief getal met zichzelf vermenigvuldigen en dan iets negatiefs krijgen. Een kwadraat is altijd positief.

Vervelend. Voor het ideaal van "alle oplossingen in één".

Maar dus niet alleen vervelend, maar het gevolg van een beperkende operatie (een projectie): die van vermenigvuldigen in combinatie met negatieve getallen.

Vanaf dit moment kan je meerdere wegen kiezen om de oplossing hiervan aannemelijk te maken.

De meest gebruikte is de pragmatische: je accepteert het vervelende, noemt het "het vervelende", en laat "het vervelende" gewoon staan als deel van de oplossing: "De oplossing is de oplossing die we snappen plus iets vervelends".

"Het vervelende" is hier het moeten trekken van de wortel van een negatief getal, in het voorbeeld:
\[ \sqrt {-7 } \]
... wat dus veroorzaakt wordt door het minus-teken - wat je apart neemt door er een vermenigvuldiging van te maken:
\[ \sqrt {(-1) \times 7 } \]
... waarbij geldt:
\[ \sqrt {(-1) \times 7} ~ = ~\sqrt {-1} \times \sqrt {7} \]
... en als je natuurkundige bent, mag je gokken dat \( \sqrt {7} \) ongeveer gelijk is aan 2,7 (2,5 in het kwadraat is 6,25) zodat er dan staat:
\[ 2,7 \sqrt {-1} \]
Dat wil zeggen: 2,7 vermenigvuldigt met "iets vervelends". Dat "iets vervelends" ga je vaak gebruiken dus geef je weer een afkorting, gekozen als \( i \), en dan staat er:
\[ 2,7i \]
... en je houdt de simpele regel aan: alle gewone getallen bereken je apart en alle \( i \)-getallen bereken je apart. Met dus voor dat laatste deze belangrijke uitzondering: ga je twee \( i \)-getallen met elkaar vermenigvuldigen, dan krijg je:
\[ i \times i ~ = ~ \sqrt {-1} \times \sqrt {-1} ~ = ~ -1 \]
... en daarna mag je dus weer werken als met gewone getallen.

En nu is er altijd een oplossing - voor het voorbeeld:
\[ x_{1} ~ = ~ { {-4 + i \sqrt {7} } \over {4} } ~~~~ x_{2} ~ = ~ { {-4 - i \sqrt {7} } \over {4} } \]
En daarna is alles weer gewoon rekenen.

Dat is de oplossing via de pragmatisch aanpak. Wat betreft de pure wiskunde.

Als je complexe getallen gaat gebruiken als voorstelling van dingen in de natuur, de werkelijkheid, is er een probleem want de imaginaire getallen daarin zijn precies zols ze heten: imaginair. Oftewel: niet-reëel. Als je voor de voorstelling van de realiteit in de wiskunde complexe getallen nodig hebt, moet je op een gegeven moment weer terug naar de realiteit. De meest dircte methode: gewoon het imaginaire deel weglaten - dat kan je iets hebt gedaan dat lijkt op roteren in een vlak terwijl je alleen maar de horizontale waarde nodig hebt.

Als je een complex getal gebruikt om een hele toestand voor te stellen, mag dat meestal niet want dan je laat een deel weg. Het gaat dan veelal om de grootte van het geheel. Die wordt berekend met behulp van de "complex geconjugeerde" van een complex getal, aangeduid met een "*":
\[ (a ~ + ~ bi)^* ~ \equiv ~ a ~ - ~ bi \]
En dan:
\[ (a ~ + ~ bi)^* (a ~ + ~ bi) ~ = ~ a^2 ~ + ~ b^2 \]
De gebruikelijke definitie, overeenkomend met de grootte van een afstand in het platte vlak (na worteltrekken).

Bij wijze van bonus nu nog de meer principiële aanpak, die uiteindelijk technisch gezien ook het bovenstaande inhoudt - maar veel leuker is. Die begint met een herhaling van de constatering dat kennelijk in de combinatie van vermenigvuldigen en negatieve getallen een probleem zit - een projectie. Een vermindering van informatie. Dan moet je dus op zoek naar een methode om die informatie te behouden. Dat wil zeggen, als mogelijkheid: een manier van vermenigvuldigen die de informatie behoudt. En de standaardmanier om informatie te behouden als je verderop iets gaat doen dat het vermindert, is om een kopie te maken. En die kopie behoudt je naast het origineel bij alles wat je aan te origineel gaat doen, zodat je eventueel altijd weer terug kan naar de originele informatie. Het getal en de kopie houdt je bij elkaar volgens de standaard wiskundige manier - als het getal is \( a \), dan is dit tezamen met zijn kopie \( (a,\, a) \).

Dit lijkt enigszins op de notatie van het paar \( (x, \, y) \) dat je nodig voor het beschrijven van de plaats van een punt in een plat vlak: \( x \) is "naar rechts" en \( y \) is "naar boven":
algebra 1

Het paar staat bekend als een exemplaar van de soort "vector", wat verder wordt uitgelegd is in Formules, matrices , evenals dus het begrip "matrix". Die kennis wordt nu verder verondersteld.

Een tweedimensionale ruimte oftewel een plat vlak heeft twee basisrichtingen oftewel basisvectoren: horizontaal en verticaal. De eerste is \( (1, \, 0) \) en de tweede \( (0, \, 1) \) . Het samenvoegen van een getal met een kopie ervan lijkt dus op het uitbreiden van getallen, die je kan voorstellen als liggende op een lijn, tot een vlak, "opgespannen" door twee lijnen.

Waar je nu voor wil zorgen is dat het negatieve getal behouden blijft onder vermenigvuldigen. Eerst even wat het negatieve getal doet op de enkele getallenlijn. Op die lijn zorgt een negatief getal voor een spiegeling: wat rechts lag, "plus is", gaat naar links, in de minus-richting. En omgekeerd.

De twee dimensies bieden een tussenmogelijkheid: draaien over 90 graden. Na twee keer draaien over 90 graden heb je dan hetzelfde gedaan als spiegelen. Dus als je van "vermenigvuldigen" een vorm van draaien kan maken, zit je goed, want twee keer draaien over 90 graden komt dan overeen met een negatief getal.

Hier begint de stand dus al sterk te lijken op de "simplistische" aanpak: een negatief getal krijg je door twee keer vermenigvuldigen met \( i \).

Wat dus nog nodig is, is het kunnen draaien van de richting van een vector. Dat is uitgelegd in Formules, matrices , en leidde tot de formule:
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}_{t_2} ~ = ~ \begin{pmatrix} \cos \, \alpha & - \sin \, \alpha \\ \sin \, \alpha & \cos \, \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}_{t_1} \]
Die \( t \)'s hebben we hier niet nodig, en de hoek weten we al: 90 graden. Je kan voor jezelf nagaan, opzoeken of een rekenmachine gebruiken voor de waarden van de sinus en cosinus van 90 graden (1 respectievelijk 0), zodat de formule wordt:
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}_{2} ~ = ~ \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}_{1} \]
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}_{2} ~ = ~ \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}_{1} \]
En als je begint met de vector \( (1, \, 0) \) , oftewel "1" in de positieve \( x\ )-richting, is de tussenuitkomst:
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ~ = ~ \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ~ = ~ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
En dit nog een keer doen levert:
\[ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} ~ = ~ \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~ = ~ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Oftewel: de \( x \)-richting is omgekeerd - precies zoals we wilden.

Of in matrix-taal, gebruikende de regels van matrix-vermenigvuldiging:
\[ \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ~ = ~ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]
Oftewel: de matrix ...:
\[ \begin{pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
...doet precies hetzelfde als \( i \).

En dat geldt dus ook andersom: wat de introductie van \( i \) doet, is de introductie van een tweede soort getal, dus van een vector zij het van een speciale soort, die je ook als liggende in een plat vlak kan voorstellen:
algebra 2

En vermenigvuldigen met complexe getallen is hetzelfde als het draaien van een vector - neem het complexe getal \( 3 + 2i \) of in het complexe vlak \( (3, 2) \) (3 opzij, 2 omhoog):
algebra 3 

Vermenigvuldig met \( i \) dan krijg je \(-2 + 3i \) oftewel \( (-2, 3) \), en controleer in de tekening dat dit dezelfde vector is maar 90 graden gedraaid. Doe dit zelf voor de gevallen/getallen die u belieft: vermeniguldigen met een complex getal doet een ander complex getal roteren en van lengte veranderen. Heeft de factor een lengte van 1, zoals \( i \) dat heeft, krijg je alleen roteren. Daarbij is de lengte van een vector \( (x, y) \) gelijk aan \( \sqrt {x^2 ~+~ y^2} \) wat niets anders is dan de stelling van Pythagoras. Dus \(1 + i \) heeft de lengte \( \sqrt {2} \).

Maar dit is dus de reden dat men graag gebruik maakt van complexe getallen: je hebt geen matrices meer nodig voor draaiingen. En geen sinus- en cosinus-functies. Dat wil zeggen: de sinus en cosinus zitten verborgen in het complexe getal, wat je kan laten zien met behulp van de exponentiële functie: \( e^x \). In Formules, differentiaalvergelijkingen, oplossingen 2   bleken er oplossingen te zijn van de tweede-orde differentiaalvergelijking horende bij een gewicht aan een veer van de vorm:
\[ e^{ix} ~ - ~ e^{-ix} \]
 
En als je die functie uittekent krijg je dit:

Wat dus precies hetzelfde is als je de waarde van \( y \) uittekent terwijl je een punt op de cirkel laat rondgaan. Oftewel, want dat is wat we afgesproken hebben: dit is een sinus: wat je krijgt als je van een cirkel overgaat naar een rechthoek. Met als buurfunctie de cosinus - precies dezelfde vorm maar dan beginnende met 1 ( of een ander maximum - boven 2)  in plaats van 0. Zeg maar: 90 graden verder. Netjes naast elkaar, met met de juiste factoren erbij:
\[ sin \, x ~ = ~ {{ e^{ix} ~ - ~ e^{-ix}} \over {2} }~~~~~~~~~~ cos \, x ~ = ~ { { e^{ix} ~ + ~ e^{-ix}} \over {2} } \]
Waaruit de omgekeerde relaties volgen:
\[ e^{ix} ~ = ~ cos \, x ~ + ~ sin \, x ~~~~~~~~ e^{-ix} ~ = ~ cos \, x ~ - ~ sin \, x\]
... wat dus eigenlijk één en dezelfde formule is.

Oftewel: de functie voor de cirkel in het complexe vlak is \( e^{ix} \).

Nou, is dat geen mooi resultaat ...?

Wat nog verder verfraaid kan worden door een factor af te splitsen - de factor \( 2 \pi \) ( \( 2 \pi \) is het aantal keren, ongeveer 6,28 , dat de straal past op de omtrek):
\[ y ~ = ~ e^{-2\pi ix} \]
Want nu kan je de hele cirkel beschrijven met getallen \( x \) liggende tussen nul en één.

Oftewel: het verband tussen een rechthoekig waargenomen werkelijkheid, met meetlatten en een stopwatch, en een systeem dat van zichzelf een cirkeltoestand is, kan weergegeven worden met drie fundamentele constanten: het beroemde \( \pi \), het wat minder bekende maar even belangrijke \( e \) dat qua grootte in dezelfde buurt zit, en het symbool voor de onbekende ruimte: \( i \).

Als dat geen rationele vorm van mystiek is ...

De cirkel staat hierin voor een systeem in evenwicht, een cyclisch systeem. De fractionele getallen tussen nul en één zijn nodig voor de beschrijving van de interne afloop van het proces - iets dat voor de buitenwacht niet merkbaar hoeft te zijn. En de gehele getallen zijn de aantallen dat het zich, al herhalend, voordoet - de tastbare werkelijkheid ervan.

En dit gebruik van imaginaire getallen kan ook nog eens in drie dimensies. Daarvoor zijn dus meer complexe getallen nodig, genaamd "quaternionen" uitleg of detail , die je kan definiëren aan de hand van bepaalde regels (zoals gedaan door de uitvinder ervan, Hamilton), maar ook te construeren zijn uit de aanname dat je per extra rotatiemogelijkheid (twee stuks) een nieuwe complexe dimensie nodig hebt, dus je gaat van twee naar vier, en door in die vier dimensies matrices te construeren die voldoen aan dezelfde soort regels als die voor twee dimensies, maar dan dus vier-bij-vier in plaasts van twee-bij-twee. Deze exercitie wordt later gepubliceerd.


Naar Evolutie , of site home .


 

& apr.2015